最小公倍数(什么叫最小公倍数)

莫然
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2020-08-1021:39:53 评论 19

最小公倍数(什么叫最小公倍数)

一.概念描述

现代数学:最小公倍数是一种特殊的公倍数。设a1,a2,…,an是n个整数(n≥2,n∈N+),它们的公倍数有无穷多个,其中最小的正的公倍数m,称为a1,a2,…,an的最小公倍数。最小公倍数通常用方括号表示,记为m=[a1,a2,…,an].最小公倍数有以下性质:

①a1,a2,…,an的最小公倍数m,是这组数的其他所有公倍数的真因数。

②[a1,a2,…,an]=[[a1,a2,…,an-1],an]。

③在一组正整数中,,若最大的那个正整数恰是其余各数的倍数,则该数即为这组数的最小公倍数。

④如果一组正整数两两互质,则这组数的乘积就是它们的最小公倍数。

⑤若a,b都是正整数,则有ab=(a,b) [a,b],即两个正整数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积,当(a,b)=1时,有ab=[a,b]。

⑥若a,b都是大于1的正整数,它们的标准分解式为a=pα11pα22...pαss,b =pβ11pβ22...pβss,式中p1<p2<…<ps是素数,αi,βi(i=1,2,…,s)是非负整数,则[a,b]=pf11pf22...pfss,式中fi= max(αi,βi)(i=1,2,…s)。这一性质可以推广到有限个正整数的最小公倍数的情形。正整数a1,a2,…,an的最小公倍数还可记为{a1,a2,…,an},L.C.M(a1,a2,…,an)等。

小学数学:小学数学教材中没有明确给出最小公倍数的定义,重点是结合生活情境,帮助学生理解最小公倍数的现实意义,并引导学生在充分认识公倍数的基础上,体会最小公倍数是指一组正整数公倍数中最小的一个。(小学阶段在正整数范围内研究,不包括0。)

二.概念解读

最小公倍数的上位概念是公倍数。一般在教学中,公倍数和最小公倍数是同时进行研究的。之所以说它是一种特殊的公倍数,其特殊性在于它在一组正整数无穷多个公倍数中最小,所以称为最小公倍数。

最小公倍数与通分有着密切的联系。异分母分数在进行大小比较或做加、减法时,需要通分,即把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。在通分过程中,用异分母分数分母的最小公倍数做公分母最简单。

求一组正整数的最小公倍数的方法一般有以下几种:

①列举法。对于求几个较小正整数的晟小公倍数,可以采用先分别列举出每个正整数的一部分的倍数,再从它们的公倍数中找出最小公倍数的方法。

②短除法。在可整除所有正整数的条件下,把从小到大的质数依次做除数去除(有时同一个质数可除若干次),直到被除数两两互质时为止,这时将所有除数和商相乘的积就是最小公倍数。例如求48和60的

最小公倍数,用短除法计算为:

最小公倍数(什么叫最小公倍数)

所以,[48,60] =2x2x3x4x5=240。注意,求三个以上正整数的最小公倍数时,只要有其中两个正整数有公有的质因数就要除下去,一直除到被除数两两互质为止。

③分解质因数法。首先把几个正整数的质因数写出来,最小公倍数等于它们公有的质因数和独有的质因数的乘积。例如30=2x3x5,45=3x3x5。将这两个数分解质因数后,用它们公有的质因数乘独有的质因数,就是这两个数的最小公倍数。所以,[30,45] =3x5x2x3=90。

三.教学建议

(1)引导学生在问题解决的过程中经历最小公倍数概念的产生过程

教学中,因为“公倍数”和“最小公倍数”两个概念联系紧密,一般同时进行教学,因此最小公倍数的教学同样需要引导学生在问题解决的过程中经历概念的产生过程,

例如,石桂花老师创设了这样一个问题情境:火车站是1路和6路汽车的起点站,1路车每3分钟发车一次,6路车每4分钟发车一次。这两路汽车同时发车后,至少再过多少分钟又同时发车?学生们经过自己的思考之后,多数人将每路车发车的时间列出来一部分。1路车发车时间:3、6、9、12、15、1 8、21、24、27……6路车发车时间:4、8、12、16、20、24、28、32、36……学生们知道再次同时发车的时间一定既是3的倍数,又是4的倍数,从而找出它们公有的倍数12、24……这些公倍数中12是最小公倍数。就这样,问题解决了,最小公倍数的概念也水到渠成的产生了。在这个过程中,学生不仅理解了概念,还深刻地体会到了最小公倍数的现实意义,

(2)分类研究求两个数最小公倍数的方法,培养学生思维的灵活性

在小学数学中,只要求学生会求两个数的最小公倍数。教学时,教师既要关注求两个数最小公倍数的一般情况,还要关注其特殊情况,引导学生分类进行研究。对于求两个数最小公倍数的一般情况,可以采用多种求法:可以采用先分别找出两个数一部分倍数,再找出两个数的公倍数,从而找出最小公倍数的方法;还可以采用短除法或分解质因数法等方法。对于求两个数最小公倍数的特殊情况,一般分为两类研究:有倍数关系的两个数和有互质关系的两个数,主要是引导学生在大量实例中找到求它们最小公倍数的特殊规律。有倍数关系的两个数,较大数是这两个数的最小公倍数。例如,15和5两个数具有倍数关系,它们的最

小公倍数就是其中较大数15。有互质关系的两个数,最小公倍数是它们的乘积。例如7和11两个数互质,它们的最小公倍数就是它们的乘积77。不同情况的两个数,采用不同的方法去求它们的最小公倍数,学生在对此分析思考的过程中,思维的灵活性得以发展。另外,还可以将求两个数最大公因数和最小公倍数的特殊类型进行分析、对比,加深对它们意义的理解。

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