悖论是什么意思(在数学中,有什么悖论吗?)

莫然
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2021年1月1日08:52:03
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  关于悖论,首先要明白什么是悖论。《数学百科辞典》一书中,对于悖论是这么解释的:能够导出与一般判断相反的结论,而要推翻它又很难给出正当的根据时,这种论证称为悖论。其实简单来讲,所谓的悖论,就是指从这样一个命题A,可推导出另一个命题B,但这个明天本身却存在自相矛盾的现象:若B为真,则推出B为假;若B为假

  关于悖论,首先要明白什么是悖论。

  《数学百科辞典》一书中,对于悖论是这么解释的:能够导出与一般判断相反的结论,而要推翻它又很难给出正当的根据时,这种论证称为悖论。其实简单来讲,所谓的悖论,就是指从这样一个命题A,可推导出另一个命题B,但这个明天本身却存在自相矛盾的现象:若B为真,则推出B为假;若B为假,又会推出B为真。

  而将已认知的悖论进行划分的话,可以分为这三大类:

  (1)一个论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的(佯谬);(2)一个论断看起来好像肯定是对的,但实际上却错了(似是而非的理论);(3)一系列推理看起来好像无懈可击,可是却导出了逻辑上的自相矛盾。

  如果还没看明白,那我们就讲讲几个比较熟悉的悖论吧!首先还是要跟大家分享一下最熟悉的唐·吉诃德悖论。

  著名小说《唐·吉诃德》里描写了一个残酷的国王,在他所能统治的国家里有一条法律:每个旅游者都要回答一个问题:“您来这里干什么?”如果回答对了,一切事情都好办;如果回答错了,立刻被绞死。

  某天,有个旅游者来到这个国家,回答上述问题时他答道:“我是来被绞死的。”如果旅游者回答是对的,按照法律,他就不应该被绞死;如果旅游者回答是错的,按照法律应被绞死,而他的“我是来被绞死的。”这句话显然又是回答对了,也不应该被绞死。最后,国王无可奈何,只得对旅游者放行。

  除此之外,想必大家也应该还记得理发师悖论和祖父悖论。

  理发师悖论

  这是罗素集合悖论的一种通俗说法:萨维尔村里的一名理发师,给自己立了一条店规:“只给自己不给自己刮脸的人刮脸。”那么这位理发师的脸该不该由自己刮呢?如果理发师的脸由他自己刮,则他属于“自己给自己刮脸的人”,因此,理发师不应该给自己刮脸;如果理发师的脸不由自己刮,则他属于“自己不给自己刮脸的人”,因此,他的脸可由自己刮,显然又与上述“自己不给自己刮脸的人”相矛盾。

  祖父悖论

  祖父悖论又称为“外祖母悖论”是一种时间旅行的悖论,科幻故事中常见的主题。最先由法国科幻小说作家赫内·巴赫札维勒(René Barjavel)在他1943年的小说《不小心的旅游者》(Le Voyageur Imprudent)中提出。情景如下:

  假设你回到过去,在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死;因为你祖父母死了,就不会有你的父亲;没有了你的父亲,你就不会出生;你没出生,就没有人会把你祖父母杀死;若是没有人把你的祖父母杀死,你就会存在并回到过去且把你的祖父母杀死,于是矛盾出现了。

  接下来,我们继续讲讲与三次数学危机相关的悖论。

  1、二分法悖论

  故事是这样的,假设一个人在到达目的地之前,要先走完路程的1/2,再走完剩下总路程的1/2,再走完剩下的1/2……按照这个要求可以无限循环的进行下去。。。

  因此有两种情况:①这个人根本没有出发;②只要他出发了,就永远到不了终点。(尽管离终点越来越近)

  其实现在想想,这个悖论从逻辑上来看就是错的。

  2、贝克莱悖论

  17世纪的时候,牛顿与莱布尼兹共同创建了微积分,给全世界数学的发展带来了新的曙光,然而此时却有跳出来指出了这么一个问题:

  在1734年,英国哲学家乔治·贝克莱出版了名为《分析学家或者向一个不信神数学家的进言》的一本书。

  在这本书中,贝克莱对牛顿的理论进行了攻击,指出求x2的导数时,会出现如下矛盾:

  贝克莱认为这是依靠双重错误得到了不科学却正确的结果。

  然而这个问题并没有阻碍微积分的发展,下拉格朗日、柯西等数学家的改进下,微积分依旧上当前数学研究中重要的基础内容。

  3、罗素悖论

  在1900年,国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱高调宣称:“……借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦……今天,我们可以说绝对的严格性已经达到了……”

  然而罗素提出的一个悖论:

  所有不包含自身的集合的集合,它到底包不包含自身呢?如果它包含自身,那么它就不是不包含自身的集合,所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身,那它理应是所有不包含自身的集合的集合的一个元素。这样的一个集合,包不包含自身,都必将引发矛盾。

  如果看不懂这个悖论,那就请直接参考理发师悖论。

  就在这次危机爆发后很长一段时间内,数学家们曾试图对“集合论”的定义加以限制,进而排除悖论。然而并无法消除悖论存在的可能性。

  直到1931年,哥德尔提出了一系列不完备定理并予以证明。

  ①任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统,都存在至少一个命题:它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。

  ②如果一个形式系统含有初等数论,当该系统自洽(所有公理都不互相矛盾)时,它的自洽性不可能在该系统内证明。

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